Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐O―ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，  OA = 2，M為OA的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大��；

（Ⅱ）求點(diǎn)B到面OCD的距離。

 

Answer 1

本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角及點(diǎn)到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。

解：方法一（綜合法）

（Ⅰ）∵CD∥AB，

∴∠MDC為異面直線AB與MD所成角（或其補(bǔ)角）

作AP⊥CD于點(diǎn)P，連接MP

∵OA⊥底面ABCD，∴CD⊥MP。

∵， ∴

∵

∴

∴AB與MD所成角的大小為。

（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，∴點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等

連接OP，過點(diǎn)A作AQ⊥OP與點(diǎn)Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP

∵平面OAP，∴，

又∵，∴平面O CD，線段的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離。

∵，

∴，∴點(diǎn)B到面OCD的距離為。

方法二（向量法）：

作AP⊥CD與點(diǎn)P。如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為

軸建立直角坐標(biāo)系。

（Ⅰ）設(shè)AB與MD所成角為，

∵，，

∴，∴，∴AB與MD所成角的大小為。

（Ⅱ）

設(shè)平面OCD的法向量為，則，

得，取，解得。

設(shè)點(diǎn)B到面OCD的距離為，則為在向量上的投影的絕對值。

∵，∴

∴點(diǎn)B到面OCD的距離為。