Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足，a₁=1，2a₃=a₂
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若等差數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，滿足b₁=2，S₃=b₂+6，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得b_n．再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q，
∵2a₃=a₂，∴q=

1

2

，
又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}通項公式為：an=

1

2n-1

．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵S₃=b₂+6，則3b₂=b₂+6，
∴b₂=3．
則d=b₂-b₁=1，∴b_n=n+1．
∴anbn=(n+1)

1

2n-1

，
Tn=2+3×

1

2

+4×

1

22

+5×

1

23

+…+(n+1)×

1

2n-1

，…..（1）

1

2

Tn=2×

1

2

+3×

1

22

+4×

1

23

+5×

1

24

+…+(n+1)×

1

2n

…．（2），
（1）-（2）得：

1

2

Tn=2+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n-1

-(n+1)×

1

2n

，

1

2

Tn=2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(n+1)×

1

2n

，
整理得

1

2

Tn=3-(n+3)×

1

2n

．
故：Tn=6-(n+3)×

1

2n-1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．