Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，其前n項(xiàng)和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

2

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列性質(zhì)，列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=4n+2，n∈N^*．
（2）由a₁=6，d=4，得S_n=2n²+4n，從而

2

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

3

4

．

解答： （1）解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，其前n項(xiàng)和為S_n，
S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列，
∴

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

，
由d≠0，解得a₁=6，d=4，
∴a_n=4n+2，n∈N^*．
（2）證明：∵a₁=6，d=4，
∴S_n=6n+

n(n-1)

2

×4=2n²+4n，
∴

2

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

），
∵

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＞0，
∴T_n＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．