Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，對(duì)任意正整數(shù)n滿足3a_n-2=S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2n，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若不等式T_n≤λ•a_n對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得3a₁-2=S₁，3a_n-1-2=S_n-1，從而得{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，

3

2

為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n=（

3

2

）^n-1．
（2）先求出T_n=

n(2+2n)

2

=n2+n，從而不等式T_n≤λ•a_n等價(jià)于(n2+n)•(

2

3

)n-1≤λ，令f（n）=(n2+n)•(

2

3

)n-1，從而得到f（n+1）-f（n）=-

2n-1

3n

(n+1)(n-4)，由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵3a_n-2=S_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，3a₁-2=S₁，解得：a₁=1，…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n-2=S_n，3a_n-1-2=S_n-1，
兩式相減得：3a_n-3a_n-1=a_n，即

an

an-1

=

3

2

，…（5分）
∴{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，

3

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（

3

2

）^n-1．…（7分）
（2）∵b_n=2n，∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=

n(2+2n)

2

=n2+n，…（9分）
∴不等式T_n≤λ•a_n等價(jià)于(n2+n)•(

2

3

)n-1≤λ，
令f（n）=(n2+n)•(

2

3

)n-1，…（10分）
則f（n+1）-f（n）=[（n+1）²+（n+1）]•(

2

3

)n-（n²+n）•（

2

3

）^n-1=-

2n-1

3n

(n+1)(n-4)，…（12分）
∴當(dāng)n≤4時(shí)，f（n+1）≥f（n），
當(dāng)n≥4時(shí)，f（n+1）≤f（n），
即f（n）的最大值為f（4）=f（5）=

25×5

33

=

160

27

，…（14分）
∴λ≥

160

27

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．