Question

6．春節(jié)期間，小明得到了10個(gè)紅包，每個(gè)紅包內(nèi)的金額互不相同，且都不超過200元．已知紅包內(nèi)金額在（0，50]的有3個(gè)，在（50，100]的有4個(gè)，在（100，200]的有3個(gè)．
（I）若小明為了感謝父母，特地隨機(jī)拿出兩個(gè)紅包，給父母各一個(gè)，求父母二人所得紅包金額分別在（50，100]和（100，200]的概率；
（Ⅱ）若小明要隨機(jī)拿出3個(gè)紅包的總金額給爺爺、奶奶和外公、外婆買禮物，設(shè)他所拿出的三個(gè)紅包金額在（50，100]的有X個(gè)，求X的分布列及其期望．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“父母二人所得紅包金額分別在（0，50]和（100，200]”為事件A，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式父母二人所得紅包金額分別在（50，100]和（100，200]的概率．
（II）由題意隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（I）設(shè)“父母二人所得紅包金額分別在（0，50]和（100，200]”為事件A，
則 $P（A）=\frac{C_3^1C_3^1A_2^2}{{A_{10}^2}}=\frac{1}{5}$．
（II）（7分）由題意，X=0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

∴X的期望為：$EX=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=1.2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．