Question

1．已知M（-2$\sqrt{2}$，0），N（2$\sqrt{2}$，0）為橢圓的左、右頂點，P是橢圓上異于M，N的動點，且△PMN的面積最大值為4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）四邊形ABCD的頂點都在橢圓上，且對角線AC，BD過原點，k_AC•k_BD=-$\frac{b^2}{a^2}$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（-2$\sqrt{2}$，0），N（2$\sqrt{2}$，0）為橢圓的左、右頂點，P是橢圓上異于M，N的動點，且△PMN的面積最大值為4$\sqrt{2}$，求出a，b，由此能求出橢圓方程及離心率．
（Ⅱ）設l_AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=8}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)，結合已知條件能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵M（-2$\sqrt{2}$，0），N（2$\sqrt{2}$，0）為橢圓的左、右頂點，P是橢圓上異于M，N的動點，且△PMN的面積最大值為4$\sqrt{2}$．
∴由題意知，$a=2\sqrt{2}$，又因為△PMN的面積最大值為$4\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{2}2ab=4\sqrt{2}$，
解得b=2，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（5分）
（Ⅱ）設l_AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=8}\end{array}}\right.$，消去y并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，…（7分）
∴${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）=\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$…（8分）
∵${k_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{b^2}{a^2}$，∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=-\frac{1}{2}•\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，解得m²=4k²+2，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=2-\frac{4}{{1+2{k^2}}}$，
∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$…（10分）
．當k=0時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$取最小值-2，
當k不存在，即AB⊥x軸時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$取最大值2，
∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程及離心率的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運用．