Question

如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面構(gòu)成45°的二面角，則異面直線
AC與BF所成角的大小為

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分別取AB，BC，AD，AF的中點M，N，Q，K，連接FM，MN，KN，QN，KQ，則KM∥FB，MN∥AC，所以∠KMN是異面直線AC，BF所成的角或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線AC與BF所成角的大�。�

解答： 解：分別取AB，BC，AD，AF的中點M，N，Q，K，連接FM，MN，KN，QN，KQ，
則KM∥FB，MN∥AC，所以∠KMN是異面直線AC，BF所成的角或其補(bǔ)角，
設(shè)AB=1，
由題意知∠DAF是正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面構(gòu)成二面角的平面角，
∴∠DAF=45°，
∴MN=MK=

2

2

，KQ=

1 4 + 1 4 -2× 1 2 × 1 2 × 2 2

=

2- 2

2

，
∴KN=

2- 2 4 +1

=

6- 2

2

，
所以cos∠KMN=

1 2 + 1 2 - 6- 2 4

2× 1 2

=

2 -2

4

，
所以對角線AC與對角線BF對所成角的余弦值是

2- 2

4

．
所以異面直線AC與BF所成角的大小為arccos

2- 2

4

．
故答案為：arccos

2- 2

4

．

點評：找出或做出異成直線所成角是解本小題的關(guān)鍵，一般是在一條異面直線上取一點作另一條的平行線，如果不好做的話，可以考慮在這兩條異面直線所在的兩個平面的交線上取中點構(gòu)造中位線來做出這個角，然后解三角形即可，本小題就屬于這種情況，請認(rèn)真體會．