Question

17．函數(shù)f（x）=2sin（πx）+$\frac{1}{1-x}$（x∈[-2，4]）的所有零點(diǎn)之和為4．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{1}{1-x}$+2sinπx=0得-$\frac{1}{1-x}$=2sinπx，分別作出函數(shù)y=-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{x-1}$與y=2sinπx的圖象，由圖象可知函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)f（x）的所有零點(diǎn)即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{1-x}$+2sinπx=0得-$\frac{1}{1-x}$=2sinπx，
分別作出函數(shù)y=-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{x-1}$與y=2sinπx的圖象如圖
則函數(shù)y=$\frac{1}{x-1}$與與y=2sinπx關(guān)于（1，0）點(diǎn)成中心對稱，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-2，4]上共有4個(gè)交點(diǎn)，
它們關(guān)于（1，0）點(diǎn)成中心對稱，
不妨設(shè)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱的兩個(gè)根為a，b，
則$\frac{a+b}{2}=1$，即a+b=2，
則所有零點(diǎn)之和為2（a+b）=2×2=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)知識，考查函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的思想，準(zhǔn)確畫好圖，把握圖象的對稱性是關(guān)鍵．