Question

2．如圖，ABC-A₁B₁C₁是底面邊長為2，高為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的正三棱柱，經(jīng)過AB的截面與上底面相交于PQ，設(shè)C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）證明：PQ∥A₁B₁；
（Ⅱ）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，求點C到平面APQB的距離．

Answer 1

分析 （I）由平面ABC∥平面A₁B₁C₁，利用線面平行的性質(zhì)定理可得：AB∥PQ，又AB∥A₁B₁，即可證明PQ∥A₁B₁．
（II）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)平面APQB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，利用點C到平面APQB的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 證明：（I）∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A₁B₁C₁=QP，
∴AB∥PQ，
又∵AB∥A₁B₁，
∴PQ∥A₁B₁．
解：（II）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
∴O（0，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（0，1，0），B（-$\sqrt{3}$，0，0），C（0，-1，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，-2，0），
設(shè)平面APQB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（1，-\sqrt{3}，-2）$，
∴點C到平面APQB的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計算、線面垂直平行判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．