Question

 已知，，點滿足，記點的軌跡為，直線過點且與軌跡交于、兩點．

    (1)無論直線繞點怎樣轉動，在軸上總存在定點，使恒成立，求實數(shù)的值．

    (2)過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，由，，∴，故軌跡的方程為：

（Ⅰ）當直線的斜率存在時，設直線方程為，，，與雙曲線方程聯(lián)立消得，

∴

解得

    

，∴

故得對任意的

恒成立，

∴，解得

∴當時，

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由，及知結論也成立，

綜上，當時，

（2），，∴直線是雙曲線的右準線，

由雙曲線定義得：，，

方法一：∴

          

，∴，故，

注意到直線的斜率不存在時，，此時，

綜上，.

方法二：設直線的傾斜角為，由于直線與雙曲線右支有二個交點，

∴，過作，垂足為，則

，

∴

由，得，

故.