【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.

【答案】
(1)解:在平面ABCD內(nèi),過A作Ax⊥AD,

∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax平面ABCD,

∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,

以A為坐標原點,分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

∵AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°,

∴A(0,0,0),B( ),C( ,1,0),

D(0,2,0),

A1(0,0, ),C1 ).

=( ), =( ),

∵cos< >= =

∴異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為


(2)解:設平面BA1D的一個法向量為 ,

,得 ,取x= ,得 ;

取平面A1AD的一個法向量為

∴cos< >= =

∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值為 ,則二面角B﹣A1D﹣A的正弦值為


【解析】在平面ABCD內(nèi),過A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A為坐標原點,分別以Ax、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.結(jié)合已知求出A,B,C,D,A1 , C1的坐標,進一步求出 , , 的坐標.(1)直接利用兩法向量所成角的余弦值可得異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D與平面A1AD的一個法向量,再由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,進一步得到正弦值.
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本,需要知道異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知向量 滿足 ,若M為AB的中點,并且 ,則λ+μ的最大值是(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若對一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈R.
(1)分別求出f(2)+f( ),f(3)+f( ),f(4)+f( )的值;
(2)根據(jù)(1)歸納猜想出f(x)+f( )的值,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某奶茶店為了解白天平均氣溫與某種飲料銷量之間的關系進行分析研究,記錄了2月21日至2月25日
的白天平均氣溫x(℃)與該奶茶店的這種飲料銷量y(杯),得到如表數(shù)據(jù):

平均氣溫x(℃)

9

11

12

10

8

銷量y(杯)

23

26

30

25

21


(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程 = x+
(2)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預測平均氣溫約為20℃時該奶茶店的這種飲料銷量.
(參考: = = ;9×23+11×26+12×30+10×25+8×21=1271,92+112+122+102+82=510)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=3|x+2|﹣|x﹣4|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)設m,n,k為正實數(shù),且m+n+k=f(0),求證:mn+mk+nk≤

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在(﹣∞,0]上滿足 <0,且f(1)=0,則使得 <0的x的取值范圍是(
A.(﹣∞,1)
B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
C.(﹣1,0)∪(1,+∞)
D.(﹣1,1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)=logax(0<a<1)在[a,2a]上的最大值是其最小值的2倍,則a=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)當a=﹣3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案