Question

某高校在2014年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）分別求第3，4，5組的頻率；
（Ⅱ）該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進行問卷調查，然后再從這6名學生中隨機抽取2名學生進行面談，若這2名學生中有ξ名學生是第4組的，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）直接利用頻率分布直方圖求解第3，4，5組的頻率；
（Ⅱ）該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進行問卷調查，然后再從這6名學生中隨機抽取2名學生進行面談，若這2名學生中有ξ名學生是第4組的，得到隨機變量的概率，列出ξ的分布列，然后求解數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）第3組的頻率為0.06×5=0.3；
第4組的頻率為0.04×5=0.2；
第5組的頻率為0.02×5=0.1；
（Ⅱ）由題知，第3，4，5組抽取的學生數學分別為3，2，1，
∴ξ取0，1，2．
因為P(ξ=0)=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

，
所以，ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

∴Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．

點評：本題考查頻率分布直方圖、概率、分層抽樣、隨機變量的分布列與期望等基礎知識，考查學生應用知識解決問題的能力，中等題．