Question

10．設集合A={1，2，…n}，n≥4，n∈N^*，若X⊆A，且2≤Card（X）≤n-2，（Card（X）表示集合X中的元素個數(shù)）令a_X表示X中最大數(shù)與最小數(shù)之和，則
（1）當n=5時，集合X的個數(shù)為20
（2）所有a_X的平均值為n+1．

Answer 1

分析 （1）當n=5時，集合A={1，2，3，4，5}，由X⊆A，且2≤Card（X）≤3，則滿足條件的X共有：${∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}$=20個．
（2）對所有的X進行配對：①當Card（X）=2時，令X={x₁，x₂}，X′={n+1-x_i|x_i∈X}，必有X′⊆A，可得：${a_X}+{a_{X^/}}=2n+2$，如果X=X′則a_X=n+1．②同理，當Card（X）=k（2＜k≤n-2）時，也有上述結論．

解答 解：（1）當n=5時，集合A={1，2，3，4，5}，∵X⊆A，且2≤Card（X）≤3，∴X={1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{1，2，3}，{1，2，4}，}，{1，2，5}，{1，3，4}，}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，}，{2，4，5}，{3，4，5}．
因此共有${∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}$=20個．
（2）對所有的X進行配對：
①當Card（X）=2時，
令X={x₁，x₂}，X′={n+1-x_i|x_i∈X}，必有X′⊆A，不妨設x₁＜x₂，則a_X=x₁+x₂，${a_{X^/}}=n+1-{x_1}+n+1-{x_2}=2n+2-（{x_1}+{x_2}）$．如果X≠X′，則有${a_X}+{a_{X^/}}=2n+2$，如果X=X′則a_X=n+1．
②同理，當Card（X）=k（2＜k≤n-2）時，
令X={x₁，x₂，…x_k}，X′={n+1-x&_i|x_i∈X}必有X′⊆A，不妨設x₁＜x₂＜…＜x_k，則a_X=x₁+x_k，${a_{X^/}}=2n+2-（{x_1}+{x_k}）$．如果X≠X′，則${a_X}+{a_{X^/}}=2n+2$，如果X=X′則a_X=n+1．
∴在每一組元素個數(shù)相同的子集中，a_X的平均值為n+1．
綜上，所有a_X的算術平均值為n+1．
故答案分別為：20；n+1．

點評 本題考查了集合的運算性質、分類討論方法，考查了分析問題與解決問題的能力、轉化能力、推理能力與計算能力，屬于難題．