2.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點.
(Ⅰ)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)求證:C1F∥平面ABE;
(Ⅲ)求三棱錐E-ABC的體積.

分析 (Ⅰ)由直三棱柱側(cè)棱與底面垂直可得BB1⊥AB,結(jié)合已知AB⊥BC,得到AB⊥平面B1BCC1,從而得到平面ABE⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)取AB的中點G,連接EG,F(xiàn)G.由三角形中位線定理可得GF∥EC1,且GF=EC1,得到四邊形FGEC1為平行四邊形,進一步得到C1F∥EG.由線面平行的判定得到C1F∥平面ABE;
(Ⅲ)由已知求解直角三角形得到AB,求得底面積,代入三棱錐體積公式求得三棱錐E-ABC的體積.

解答 (Ⅰ)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB.
又∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1
又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1
(Ⅱ)證明:取AB的中點G,連接EG,F(xiàn)G.
∵E,F(xiàn),G分別是A1C1,BC,AB的中點,
∴FG∥AC,且$FG=\frac{1}{2}AC$,$E{C_1}=\frac{1}{2}{A_1}{C_1}$.
∵AC∥A1C1,且AC=A1C1,∴GF∥EC1,且GF=EC1
∴四邊形FGEC1為平行四邊形,
∴C1F∥EG.
又∵EG?平面ABE,C1F?平面ABE,∴C1F∥平面ABE;
(Ⅲ)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,∴$AB=\sqrt{A{C^2}-B{C^2}}=\sqrt{3}$.
∴三棱錐E-ABC的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

點評 本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定,考查棱錐體積的求法,靈活運用中點推出線線平行是解答該題的關(guān)鍵,是中檔題.

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