Question

某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：①y與(a－x)和x²的乘積成正比；②當時，y＝a³；③，其中t是常數(shù)，且t∈(0，2]

(1)設(shè)y＝f(x)，求f(x)的表達式及定義域；

(2)求出產(chǎn)品增加值y的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)y＝f(x)＝k(a－x)x2　　1分 　　∵當時，y＝a3，即　∴k＝8 　　∴f(x)＝8(a－x)·x2　　3分 　　∵ 　　∴函數(shù)的定義域是　　5分 　　(2)f(x)＝－24x2＋16ax，令f’(x)＝0，則x＝0(舍)，x＝　　6分 　　當0＜x＜時，(x)＞0，∴f(x)在上是增函數(shù) 　　當x＞時，(x)＜0，∴f(x)在上是減函數(shù) 　　所以x＝為極大值點　　8分 　　當時，即1≤t≤2，　　10分 　　當時，即0＜t＜1，　　12分 　　綜上：當1≤t≤2時，投入萬元，最大增加值 　　當0＜t＜1時，投入萬元，最大增加值　　13分