Question

下列函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)的是（　�。�

• A、y=-|x-1|
• B、y=x+

  2

  x

• C、y=

  3x+1

  x+1

• D、y=x（2-x）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：舉反例說明A，B在（1，+∞）上不是增函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)說明y=x（2-x）在（1，+∞）上不是增函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=

3x+1

x+1

在（1，+∞）上為增函數(shù)．

解答： 解：對于函數(shù)y=f（x）=-|x-1|，
∵f（2）=-1，f（3）=-2，f（3）＜f（2），
∴y=-|x-1|在（1，+∞）上不是增函數(shù)；
對于y=f（x）=x+

2

x

，
∵f（

5

4

）=

57

2

，f（

3

2

）=

17

6

，f（

3

2

）＜（

5

4

），
∴y=x+

2

x

在（1，+∞）上不是增函數(shù)；
對于y=x（2-x）=-x²+2x，圖象是開口向下的拋物線，對稱軸方程為x=1，
在（1，+∞）上為減函數(shù)；
對于y=

3x+1

x+1

，在（1，+∞）上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

3x1+1

x1+1

-

3x2+1

x2+1

=

3x1x2+x2+3x1+1-3x1x2-x1-3x2-1

(x1+1)(x2+1)

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
∴y=

3x+1

x+1

在（1，+∞）上為增函數(shù)．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，關(guān)鍵是掌握單調(diào)性證明的步驟，是基礎(chǔ)題．