Question

（本小題滿分18分）已知函數(shù)，

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若在（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在處取得極小值1；（Ⅱ）時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；  時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增。

(Ⅲ) 或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031909055912938009/SYS201303190907127543146435_DA.files/image012.png">，

當(dāng)時(shí)，，

		1
	—	0	+
		極小

 

所以在處取得極小值1.

（Ⅱ），

    

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；  

②當(dāng)，即時(shí)，在上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.       

（III）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即 在上存在一點(diǎn)，使得，

即函數(shù)在上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為，由可得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031909055912938009/SYS201303190907127543146435_DA.files/image040.png">，所以；

②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以的最小值為，由可得；

③當(dāng)，即時(shí)， 可得的最小值為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031909055912938009/SYS201303190907127543146435_DA.files/image049.png">，所以

故   

此時(shí)，不成立.   

綜上討論可得所求的取值范圍是：或.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值。

點(diǎn)評(píng)：①極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不定是極值點(diǎn)。②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一定要先求函數(shù)的定義域。③注意恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題的區(qū)別。