Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=x．
（1）已知點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））（x₁≥0，x₂≥0），若直線PQ平行于x軸，求P，Q兩點(diǎn)間的最短距離；
（2）若x≥0時，f（x）-f（-x）≥a（g（x）-g（-x））恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點(diǎn)間的最短距離．
（2）由已知得x≥0時，e^x-

1

ex

+2sinx≥2ax恒成立，設(shè)t（x）=e^x-

1

ex

+2sinx，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得t（x）_min=t（0）=0，從而（2ax）_max=0，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））（x₁≥0，x₂≥0），
直線PQ平行于x軸，
∴f（x₁）=g（x₂），∴ex1+sinx₁=x₂，
∴P，Q兩點(diǎn)間的距離等于|x₂-x₁|=|ex1+sinx₁-x₁|，
設(shè)h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），則h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），
記l（x）=h'（x）=e^x+cosx-1（x≥0），則l'（x）=e^x-sinx≥1-sinx≥0，
∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=1，
∴|x₂-x₁|≥1，即P，Q兩點(diǎn)間的最短距離等于1．
（2）∵x≥0時，f（x）-f（-x）≥a（g（x）-g（-x））恒成立，
∴x≥0時，e^x-

1

ex

+2sinx≥2ax恒成立，
設(shè)t（x）=e^x-

1

ex

+2sinx，
則t′(x)=ex+

1

ex

+2cosx＞0，
∴t（x）是增函數(shù)，∴t（x）_min=t（0）=0，
∵x≥0時，e^x-

1

ex

+2sinx≥2ax恒成立，
∴（2ax）_max=0，∴a≤0．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，函數(shù)恒成立時條件的應(yīng)用能力．