已知函數(shù)f（x）=ax3lnx+bx3+c在x=1處取得極值4+c．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）≤3c2對?x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．
考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）因為x=1時函數(shù)取得極值得f（x）=4+c求出b，然后令導(dǎo)函數(shù)等于求出a即可；
（2）不等式f（x）≤3c2對?x∈（0，+∞）恒成立即f（x）的極大值小于等于3c2，求出c的解集即可．
解答： 解：（1）∵f（x）=ax3lnx+bx3+c，
∴x＞0，f′（x）=x2（3alnx+a+3b），
∵函數(shù)f（x）=ax3lnx+bx3+c在x=1處取得極值4+c，
∴
f(1)=4+c
f′(1)=0
，
b+c=4+c
a+3b=0
，解得a=-12，b=4．
（2）由（1）知f（x）=-12ax3lnx+4x3+c，
f′（x）=-36x2lnx，令f′（x）=0，解得x=1
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），
f（x）在x=1處取得極大值f（1）=4+c，此極大值也是最大值，
不等式f（x）≤3c2對?x∈（0，+∞）恒成立，只需4+c≤3c2，
解得-1≤c≤
4
3
．
∴實數(shù)c的取值范圍是[-1，
4
3
]．
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，函數(shù)恒成立時條件的應(yīng)用能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x3+ax2+bx+c和g（x）=x2-3x+2，若y=f（x）在點x=-1處有極值，且曲線y=f（x）和y=g（x）在交點（0，2）處有公切線．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在R上的極大值與極小值．

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在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB=2CD，在棱AB上是否存在一點F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求點F的位置，若不存在，請說明理由．

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設(shè)函數(shù)f（x）=ex+sinx，g（x）=x．
（1）已知點P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1≥0，x2≥0），若直線PQ平行于x軸，求P，Q兩點間的最短距離；
（2）若x≥0時，f（x）-f（-x）≥a（g（x）-g（-x））恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=[ax2+（a+1）x+1]ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前3項和S3=9，且a1、a2、a5成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項的和Sn；
（2）設(shè)Tn為數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項和，證明：
1
3
≤Tn＜
1
2
；
（3）對（2）問中的Tn，若Tn≤λan+1對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）當(dāng)a=4，b=2時，求h（x）的極大值點；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）的圖象C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點做x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明：C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=1+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)x＞0時，求證：f（x）-1≥a（1-
1
x
）；
（Ⅱ）在區(qū)間（1，e）上f（x）＞x恒成立，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x＜0，則函數(shù)y=1+4x+
1
x
的取值范圍為
 
．

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