Question

已知f（x）=2cos（3π-

x

2

）cos（

π

2

-

x

2

）+sin²（π+

x

2

）-cos²（π+

x

2

）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若g（x）=f（

π

12

-x），求不等式g（x）＜1的解集；
（3）若不等式|f（x）-a|＜2當x∈[0，π]時恒成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)公式化f（x）為含一種角的三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求遞減區(qū)間；
（2）g(x)=f(

π

12

-x)=

2

sin(x-

π

3

)＜1，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，
（3））|f（x）-a|＜2?a-2＜f（x）＜a+2，轉(zhuǎn)化為求出f（x）的最值，建立不等式組求解．

解答： 解：f(x)=-2cos

x

2

sin

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

=-sinx-cosx=-

2

sin(x+

π

4

)，
（1）f（x）遞減?y=sin(x+

π

4

)遞增，
∴2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

)（k∈Z）；  
（2）g(x)=f(

π

12

-x)=

2

sin(x-

π

3

)＜1，∴sin(x-

π

3

)＜

2

2

∴2kπ-

5π

4

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

4

∴解集為：{x|2kπ-

11π

12

≤x≤2kπ+

7π

12

}（k∈Z）；
（3）|f（x）-a|＜2?a-2＜f（x）＜a+2，
∵x∈[0，π]∴x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin(x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]⇒f(x)=-

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，1]
∴

a-2＜- 2 a+2＞1

⇒-1＜a＜2-

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．