Question

10．已知函數(shù)f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（0＜a＜1）．
（Ⅰ）判斷f（x的奇偶性；
（Ⅱ）用定義證明f（x）為R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）為定義域上的增函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=（a-1）（a^x-a^-x），
對任意x∈R，都有f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）為定義域R上的奇函數(shù)；
證明：（Ⅱ）設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{-x}_{1}}$）-（a-1）（${a}^{{x}_{2}}$-${a}^{{-x}_{2}}$）
=（a-1）[（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）-（${a}^{{-x}_{1}}$-${a}^{{-x}_{2}}$）]
=（a-1）[（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）-$\frac{{a}^{{x}_{2}}{-a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}{•a}^{{x}_{2}}}$]
=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），
由于0＜a＜1，${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$＞0，
于是f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）為R上的增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．