Question

20．設(shè)a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（Ⅰ）求集合D（用區(qū)間表示）；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=x²-（1+a）x+a在D內(nèi)的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對于方程2x²-3（1+a）x+6a=0，判別式△=3（a-3）（3a-1）因?yàn)閍＜1，所以a-3＜0，分類討論求出B，即可求集合D（用區(qū)間表示）；
（Ⅱ）f（x）=（x-1）（x-a），a＜1，分類討論求函數(shù)f（x）=x²-（1+a）x+a在D內(nèi)的零點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）對于方程2x²-3（1+a）x+6a=0
判別式△=3（a-3）（3a-1）
因?yàn)閍＜1，所以a-3＜0
①當(dāng)1$＞a＞\frac{1}{3}$時(shí)，△＜0，此時(shí)B=R，所以D=A；
②當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時(shí)，△=0，此時(shí)B={x|x≠1}，所以D=（0，1）∪（1，+∞）；
當(dāng)a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，△＞0，設(shè)方程2x²-3（1+a）x+6a=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則
③當(dāng)0$＜a＜\frac{1}{3}$時(shí)，x₁+x₂=$\frac{3}{2}$（1+a）＞0，x₁x₂=3a＞0，所以x₁＞0，x₂＞0
此時(shí)，D=（0，x₁）∪（x₂，+∞）；
④當(dāng)a≤0時(shí)，x₁x₂=3a≤0，所以x₁≤0，x₂＞0．
此時(shí)，D=（x₂，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=（x-1）（x-a），a＜1，
①當(dāng)1$＞a＞\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為1與a；
②當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為$\frac{1}{3}$；
③當(dāng)0$＜a＜\frac{1}{3}$時(shí)，因?yàn)?×1²-3（1+a）+6a＜0，2×a²-3（1+a）a+6a＞0，所以函數(shù)f（x）零點(diǎn)為a；
④a≤0，因?yàn)?×1²-3（1+a）+6a＜0，2×a²-3（1+a）a+6a＜0，所以函數(shù)f（x）無零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查集合的運(yùn)算，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．