Question

4．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之積為T(mén)_n，若T_n=2${\;}^{{n^2}+n}}$，則$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$的最小值為（　�。�

• A． 7
• B． 6
• C． $\frac{17}{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得：${a}_{n}={4}^{n}$．于是$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+8}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{8}{{2}^{n}}$，令f（x）=x+$\frac{8}{x}$（x≥2），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵T_n=2${\;}^{{n^2}+n}}$=a₁a₂•…•a_n，
∴n=1時(shí)，a₁=2²=4．
n≥2時(shí)，T_n-1=a₁a_2•…•a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}+（n-1）}$，
可得：a_n=${2}^{{n}^{2}+n-[（n-1）^{2}+（n-1）]}$=2²ⁿ=4ⁿ，n=1時(shí)也成立．
∴${a}_{n}={4}^{n}$．
則$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+8}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{8}{{2}^{n}}$，
令f（x）=x+$\frac{8}{x}$（x≥2），f′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-8}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x≥2$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
f（2）=6，f（4）=6，
∴$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$的最小值為6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．