Question

14．在下列結(jié)論中，錯(cuò)用均值不等式作依據(jù)的是（　�。�

• A． x，y，z∈R⁺，則$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3
• B． $\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2
• C． 若a，b∈R，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2
• D． a∈R⁺，（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）≥4

Answer 1

分析 直接利用基本不等式成立的條件，判斷選項(xiàng)即可．

解答 解：x，y，z∈R⁺，則$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$≥3•$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{z}•\frac{z}{x}}$=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)，正確．
$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，表達(dá)式取得最小值．正確；
若a，b∈R，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，顯然不成立，如果a•b＜0，不能利用基本不等式求解最小值，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
a∈R⁺，（1+a）（1+$\frac{1}{a}$）=2+a+$\frac{1}{a}$≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，取等號(hào)，所以D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式成立的條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．