Question

15．設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=4，S₅=30
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n
（2）設數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和為T_n，求證：$\frac{1}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=4，S₅=30，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調性即可得出．

解答 （1）解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=4，S₅=30，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和為T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$，
∴T₁≤T_n$＜\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．