Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（0，1）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（x∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=8．

Answer 1

分析 由條件可得直線經(jīng)過定點(diǎn)A（2，-1），以B（0，1）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（x∈R）相切的所有圓中，當(dāng)AB與直線垂直時(shí)，圓的半徑最大，求得m的值，可得圓的半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：∵直線mx-y-2m-1=0，即m（x-2）-y-1=0，經(jīng)過定點(diǎn)A（2，-1），
∴以點(diǎn)B（0，1）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（x∈R）相切的所有圓中，
當(dāng)AB與直線垂直時(shí)，圓的半徑最大，此時(shí)，K_AB•m=-1，即$\frac{1+1}{0-2}$•m=-1，m=1，
圓的半徑r=AB=2$\sqrt{2}$，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=8，
故答案為：x²+（y-1）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，兩條直線垂直的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．