Question

5．已知圓C的一條直徑的端點分別是A（0，1），B（2，1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（0，-2）的直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心與半徑，即可求出求圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用過點（0，-2）的直線l與圓C相切，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵A（0，1），B（2，1）是圓C的一條直徑的兩端點，
∴圓心C是AB的中點，其坐標(biāo)為（1，1）（1分）
圓C半徑|AC|=1 （2分）
∴圓C的方程是：（x-1）²+（y-1）²=1（5分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線l斜率存在時，l的方程可設(shè)為：y=kx-2，即kx-y-2=0．（6分）
∵直線l與圓C相切，
∴圓心C（1，1）到直線kx-y-2=0的距離等于半徑1，
即$\frac{{|{k•1-1-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，（7分）
解得$k=\frac{4}{3}$．（8分）
直線l的方程為$\frac{4}{3}x-y-2=0$，即4x-3y-6=0（9分）
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l的方程為x=0，這時，圓心C（1，1）到直線l的距離為1恰等于圓C的半徑，直線l與圓也相切
∴直線l的方程為4x-3y-6=0或x=0（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．