Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=2|x|+a+2
（1）解不等式f（x）＜2
（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）≤g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|＜2，由此求得不等式的解集．
（2）由題意可得存在實(shí)數(shù)x，使得|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$ 成立，再根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x+$\frac{1}{2}$|-|x|的最小值為-$\frac{1}{2}$，故有-$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{a}{2}$，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|＜2，即-2＜2x+1＜2，
求得-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，故不等式的解集為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（2）由題意可得f（x）≤g（x），即|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$，
而|x+$\frac{1}{2}$|-|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-$\frac{1}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離，它的最小值為-$\frac{1}{2}$，
再根據(jù)存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）≤g（x），故有-$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{a}{2}$，求得 a≥-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．