Question

有一枚正方體骰子，六個(gè)面分別寫(xiě)1、2、3、4、5、6的數(shù)字，規(guī)定“拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后，面向上的那一個(gè)數(shù)字”．已知a和b是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字，函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1（x∈R）
（1）若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3，求再次拋擲骰子時(shí)，使函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-3，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由y=f（x）有零點(diǎn)，得△=4b²-4a≥0，即b²≥3，故b=2，3，4，5，6．而b的所有可能的值共有6個(gè)，由此可得函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率．
（2）由函數(shù)y=f（x）在（-3，+∞）上是增函數(shù)，可得-

b

a

≤-3，即b≥3a．再分a=1和a=2兩種情況，分別求出函數(shù)y=f（x）在（-3，+∞）上是增函數(shù)的概率，相加即得所求．

解答： （1）解：設(shè)事件A：再次拋擲骰子時(shí)，函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)．
若y=f（x）有零點(diǎn)，則4b²-4a≥0，即b²≥a，即b²≥3，故b=2，3，4，5，6．所以P(A)=

5

6

．
故再次拋擲骰子時(shí)，函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率為

5

6

．
（2）解：設(shè)事件B為：函數(shù)y=f（x）在（-3，+∞）為增函數(shù)．
若函數(shù)y=f（x）在（-3，+∞）上是增函數(shù)，則有-

b

a

≤-3，即b≥3a．
當(dāng)a=1時(shí)，b=3，4，5，6；當(dāng)a=2時(shí)，b=6．所以P(B)=

1

6

×

4

6

+

1

6

×

1

6

=

5

36

．
故函數(shù)y=f（x）在（-3，+∞）上是增函數(shù)的概率是

5

36

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．