Question

10．已知集合X={1，2，3}，Y_n={1，2，3，…，n）（n∈N^*），設(shè)S_n={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Y_n}，令f（n）表示集合S_n所含元素的個數(shù)．
（1）寫出f（6）的值；
（2）當(dāng)n≥6時，寫出f（n）的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）f（6）=6+2+$\frac{6}{2}$+$\frac{6}{3}$=13；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，分類討論，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）f（6）=6+2+$\frac{6}{2}$+$\frac{6}{3}$=13；
（2）當(dāng)n≥6時，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n+2+（\frac{n}{2}+\frac{n}{3}），n=6t}\\{n+2+（\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{3}），n=6t+1}\\{n+2+（\frac{n}{2}+\frac{n-2}{3}），n=6t+2}\\{n+2+（\frac{n-1}{2}+\frac{n}{3}），n=6t+3}\\{n+2+（\frac{n}{2}+\frac{n-1}{3}），n=6t+4}\\{n+2+（\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}），n=6t+5}\end{array}\right.$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=6時，f（6）=6+2+$\frac{6}{2}$+$\frac{6}{3}$=13，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k≥6）時，結(jié)論成立，那么n=k+1時，S_k+1在S_k的基礎(chǔ)上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中產(chǎn)生，分以下情形討論：
1）若k+1=6t，則k=6（t-1）+5，此時有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+$\frac{k+1}{2}$+$\frac{k+1}{3}$，結(jié)論成立；
2）若k+1=6t+1，則k=6t，此時有f（k+1）=f（k）+1=k+2+$\frac{k}{2}$+$\frac{k}{3}$+1=（k+1）+2+$\frac{（k+1）-1}{2}$+$\frac{（k+1）-1}{3}$，結(jié)論成立；
3）若k+1=6t+2，則k=6t+1，此時有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k-1}{2}$+$\frac{k-1}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{k+1}{2}$+$\frac{（k+1）-2}{3}$，結(jié)論成立；
4）若k+1=6t+3，則k=6t+2，此時有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k}{2}$+$\frac{k-2}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{（k+1）-1}{2}$+$\frac{k+1}{3}$，結(jié)論成立；
5）若k+1=6t+4，則k=6t+3，此時有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k-1}{2}$+$\frac{k}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{k+1}{2}$+$\frac{（k+1）-1}{3}$，結(jié)論成立；
6）若k+1=6t+5，則k=6t+4，此時有f（k+1）=f（k）+2=k+2+$\frac{k}{2}$+$\frac{k-1}{3}$+2=（k+1）+2+$\frac{（k+1）-1}{2}$+$\frac{（k+1）-2}{3}$，結(jié)論成立．
綜上所述，結(jié)論f（n）=n+[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+2，對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確歸納是關(guān)鍵．