Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α≤π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ，C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（1）求C₂與C₃交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）若C₁與C₂相交于點(diǎn)A，C₁與C₃相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）由曲線C₂：ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直角坐標(biāo)方程．同理由C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．可得直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出可得C₂與C₃交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．
（2）由曲線C₁的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，化為普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠$\frac{π}{2}$；α=$\frac{π}{2}$時(shí)，為x=0（y≠0）．其極坐標(biāo)方程為：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=$|2sinα-2\sqrt{3}cosα|$即可得出．

解答 解：（I）由曲線C₂：ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，
∴x²+y²=2y．
同理由C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．可得直角坐標(biāo)方程：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴C₂與C₃交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，0），$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），化為普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠$\frac{π}{2}$；α=$\frac{π}{2}$時(shí)，為x=0（y≠0）．其極坐標(biāo)方程為：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C₁上，
∴A（2sinα，α），B$（2\sqrt{3}cosα，α）$．
∴|AB|=$|2sinα-2\sqrt{3}cosα|$=4$|sin（α-\frac{π}{3}）|$，
當(dāng)$α=\frac{5π}{6}$時(shí)，|AB|取得最大值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、曲線的交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．