Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=|t（x+

4

x

）-5|，其中常函數(shù)t＞0
（1）若函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，試求t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=1時，方程f（x）=m有四個不等實根x₁，x₂，x₃，x₄ 
①證明：x₁•x₂•x₃•x₄=16；
②是否存在實數(shù)a，b，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f（x）的取值范圍為[ma，mb]，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)x+

4

x

的單調(diào)性和最值，得到要使函數(shù)f（x）=|t（x+

4

x

）-5|分別在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，則g（x）=t（x+

4

x

）-5≥0，求其最小值后由其最小值大于等于0得答案；
（2）①畫出t=1時函數(shù)的圖象，由g（x）=m和g（x）=-m得兩個方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到x₁•x₂•x₃•x₄=16；
②令f（x）=0，解得：x=1或x=4．然后分x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，4），x∈（4，+∞）求得函數(shù)f（x）的解析式，增區(qū)間由

f(a)

a

=

f(b)

b

=m得到矛盾的式子，說明不存在實數(shù)a，b，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f（x）的取值范圍為[ma，mb]．減區(qū)間x∈（0，1）容易說明不存在實數(shù)a，b．x∈（2，4）時可求得存在實數(shù)a，b，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f（x）的取值范圍為[ma，mb]．

解答： （1）解：∵x∈（0，+∞），
∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當(dāng)x=2時取最小值，且在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
要使函數(shù)f（x）=|t（x+

4

x

）-5|分別在區(qū)間（0，2），（2，+∞）上單調(diào)，
則g（x）=t（x+

4

x

）-5≥0，即g（x）_min=4t-5≥0，
∴t≥

5

4

；
（2）①證明：當(dāng)t=1時，f（x）=|（x+

4

x

）-5|，其圖象如圖，
要使f（x）=m有4個根，則0＜m＜1，
令g（x）=m，則x²-（5+m）x+4=0，
∴x₁x₄=4，
令g（x）=-m，
則x²-（5-m）x+4=0，
∴x₂x₃=4．
∴x₁•x₂•x₃•x₄=16；
②解：令f（x）=0，解得：x=1或x=4．
當(dāng)x∈（1，2）時，f（x）=5-（x+

4

x

），
∴f(a)=5-(a+

4

a

)，f(b)=5-(b+

4

b

)，
由

f(a)

a

=

f(b)

b

=m，得5b-ab-

4b

a

=

4b2-4a2

ab

，即5ab+4a+4b=0，
∵a，b∈（1，2），
∴上式不成立，即實數(shù)a，b不存在；
當(dāng)x∈（4，+∞）時，f（x）=x+

4

x

-5，
由

f(a)

a

=

f(b)

b

=m，得ab+

4b

a

-5b=ab+

4a

b

-5a，
整理得：

5

4

=

a+b

ab

，即

1

a

+

1

b

=

5

4

．
∵a≥4，b≥4，
∴

1

a

+

1

b

≤

1

4

+

1

4

=

1

2

，與

1

a

+

1

b

=

5

4

矛盾，即實數(shù)a，b不存在；
當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=x+

4

x

-5，
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
∵a，b∈（0，1），矛盾，即實數(shù)a，b不存在；
當(dāng)x∈（2，4）時，f（x）=5-（x+

4

x

），
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
再由f（a）=mb，得m=

5a-a2-4

ab

，把b=5-a代入得，
m=1-

4

5a-a2

，
∵2＜a＜4，
∴m∈(-∞，

9

25

]∪(2，+∞)．
綜上，存在實數(shù)a，b∈（2，4），使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f（x）的取值范圍為[ma，mb]，
此時m的范圍為(-∞，

9

25

]∪(2，+∞)．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，綜合考查了學(xué)生靈活分析問題和解決問題的能力，屬難度較大的題目．