Question

【題目】已知集合，其中，．如果集合滿足：對(duì)于任意的，都有，那么稱集合具有性質(zhì)．

（Ⅰ）寫出一個(gè)具有性質(zhì)的集合；

（Ⅱ）證明：對(duì)任意具有性質(zhì)的集合，；

（Ⅲ）求具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）;（Ⅱ）利用反證法證明不存在，使得；（Ⅲ）設(shè)為使得的最大正整數(shù)，則．再證明，集合中大于2000的元素至多有19個(gè)，所以．再證明不可能成立．即成立．再推理得到可能取的值為981，982，…，1000，故符合條件的集合個(gè)數(shù)為．因此，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）證明：假設(shè)存在，使得，顯然，取，則

，由題意，而為集合中元素的最大值，所以，，矛盾，假設(shè)不成立，

所以，不存在，使得．

（Ⅲ）設(shè)為使得的最大正整數(shù)，則．

若，則存在正整數(shù)，使得，所以．

同（Ⅱ）不可能屬于集合．

于是，由題意知，

所以，，集合中大于2000的元素至多有19個(gè)，所以．

下面證明不可能成立．

假設(shè)，則存在正整數(shù)，使得，顯然，

所以存在正整數(shù)使得．

而與為使得的最大正整數(shù)矛盾，所以不可能成立．即成立．

當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的滿足顯然有成立．

若，則，即，

所以，，其中均為符合題意的集合．

而可能取的值為981，982，…，1000，故符合條件的集合個(gè)數(shù)為

．

因此，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為．