Question

已知點(diǎn)（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項(xiàng)和為T_n，問T_n＞

1000

2009

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

（1）由已知f（1）=a=

1

3

，∴f（x）=(

1

3

)x，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c=(

1

3

)-nc，
∴a₁=f（1）=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，應(yīng)有

a2

a1

=

a3

a2

=q，解得c=1，q=

1

3

．
∴首項(xiàng)a₁=f（1）=

1

3

-c=-

2

3

∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(-

2

3

) (

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n．
（2）∵S_n-S_n-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n                
∴S_n=n²
 當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1時(shí)也適合上式，
∴{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2n-1．
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn＞

1000

2009

，得

n

2n+1

＞

1000

2009

，n＞

1000

9

，
故滿足Tn＞

1000

2009

的最小正整數(shù)為112．