Question

1．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁與平面ABC₁D₁所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出圖象，連接A₁D，AD₁交于點O，連接OC₁，可證∠A₁C₁O即為所求角，解Rt△A₁C₁O即可求得答案．

解答 解：如圖所示：
連接A₁D，AD₁交于點O，連接OC₁，
在正方體中，∵AB⊥平面AD₁，∴AB⊥A₁D，
又A₁D⊥AD₁，且AD₁∩AB=A，
∴A₁D⊥平面AD₁C₁B，
所以∠A₁C₁O即為所求角，
在Rt△A₁C₁O中，$sin∠{A}_{1}{C}_{1}O=\frac{{A}_{1}O}{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}$，
所以A₁C₁與平面ABC₁D₁所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面所成的角的求解，考查學生的推理論證能力，屬中檔題．