Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于點(diǎn)O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中點(diǎn)．求證：
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中點(diǎn)，
又∵E是PB的中點(diǎn)，∴EO是△PBD的中位線，可得EO∥PD． …（2分）
∵EO?平面PCD，PD?平面PCD，
∴EO∥平面PCD． …（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，…（8分）
又∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
∵PA∩AC=A，PA、AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…（12分）
又∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．…（14分）
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得到O是BD的中點(diǎn)，在△PBD中利用中位線定理，得到EO∥PD，結(jié)合線面平行的判定定理，可證出EO∥平面PCD；
（2）根據(jù)PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，結(jié)合菱形ABCD中AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，結(jié)合面面垂直的判定定理，可證出平面PBO⊥平面PAC．
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊四棱錐，叫我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)和線面平行的判定定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．