Question

7．各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n} 的前n項和為S_n，且滿足：S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，C_n=f（2ⁿ+4）（n∈N⁺），求數(shù)列{C_n}的前n項和T_n．．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用分段函數(shù)的性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{1}{4}{a_n}^2+\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{4}$①得，
當(dāng)n≥2時，${S_{n-1}}=\frac{1}{4}{a_{n-1}}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{4}$②；
由①-②化簡得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)，∴當(dāng)n≥2時，a_n-a_n-1=2，
故數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為2，又${a_1}={S_1}=\frac{1}{4}{a_1}^2+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{4}$，
解得a₁=1，∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由分段函數(shù)$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n為奇數(shù)\\ f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)\end{array}\right.$，可以得到：c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1；
當(dāng)n≥3，n∈N^*時，${c_n}=f（{2^n}+4）=f（{2^{n-1}}+2）=f（{2^{n-2}}+1）=2（{2^{n-2}}+1）-1={2^{n-1}}+1$，
故當(dāng)n≥3時，${T_n}=5+1+（{2^2}+1）+（{2^3}+1）+…+（{2^{n-1}}+1）$=$6+\frac{{4（1-{2^{n-2}}）}}{1-2}+（n-2）={2^n}+n$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}5，n=1\\{2^n}+n，n≥2\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、分段函數(shù)的性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．