Question

17．已知冪函數(shù)f（x）過點$（2，\sqrt{2}）$，則滿足f（2-a）＞f（a-1）的實數(shù)a的取值范圍是[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)y的圖象求出的解析式，再利用冪函數(shù)的性質把不等式f（2-a）＞f（a-1）化為等價的不等式組，求出解集即可．

解答 解：設冪函數(shù)y=f（x）=x^α，α∈R；
其圖象過點$（2，\sqrt{2}）$，
∴2^α=$\sqrt{2}$，
解得α=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$；
∴不等式f（2-a）＞f（a-1）可化為
$\sqrt{2-a}$＞$\sqrt{a-1}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞a-1}\\{a-1≥0}\end{array}\right.$，
解得1≤a＜$\frac{3}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[1，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：$[1，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．