Question

2．從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品兩次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．
（Ⅰ）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；
（Ⅱ）若該批產(chǎn)品共20件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)該批產(chǎn)品中任取1件是二等品為事件B，根據(jù)事件A的概率求得事件B的概率即可．
（Ⅱ）利用超幾何分布求得隨機(jī)變量的概率，并求得X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）∵事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”，設(shè)事件B：“該批產(chǎn)品中任取1件是二等品”
∴P（B）=1-p²=0.96
求得p=0.2．
（Ⅱ）∵該批產(chǎn)品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20×0.2=4件，
顯然X=0，1，2．故$P（X=0）=\frac{{C_{16}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{12}{19}$．$P（X=1）=\frac{{C_{16}^1C_4^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{32}{95}$．$P（X=2）=\frac{C_4^2}{{C_{20}^2}}=\frac{3}{95}$．
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

∴EX=$0×\frac{12}{19}+1×\frac{32}{95}+2×\frac{3}{95}$=$\frac{38}{95}$

點評 本題主要考查隨機(jī)變量的概率分布列，以及超幾何分布的概率求法，屬于中檔題型．