Question

【題目】設(shè)函數(shù) ， ，對任意， ，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：當x＞0時，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可求g（x）的最大值，問題轉(zhuǎn)化為，可求正數(shù)的取值范圍．

詳解：∵當x＞0時，f（x）=e2x+≥2 ，

∴x1∈（0，+∞）時，函數(shù)f（）有最小值2e，

∵g（x）=，∴=，

當x＜1時， ＞0，則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，

當x＞1時， ＜0，則函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴x=1時，函數(shù)g（x）有最大值g（1）=e，

則有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，

∵不等式恒成立且k＞0，

∴，∴k≥1.

故答案為：k≥1