Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2）作直線l交橢圓

x2

2

+y²=1于A，B兩點(diǎn)．
（1）若△AOB的面積是

2

3

，求直線l的方程（其中O為原點(diǎn)）．
（2）當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線AB：y=kx+2，代入橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出△AOB的面積為S=|x₁-x₂|，運(yùn)用代入法，令S=

2

3

，解方程即可得到k；
（2）對(duì)（1）得到的S的關(guān)系式，令

2k2-3

=t（t＞0），將分子分母除以t，再由基本不等式即可得到最大值，同時(shí)得到k，即可得到所求方程．

解答： 解：（1）設(shè)直線AB：y=kx+2，
代入橢圓方程可得，（1+2k²）x²+8kx+6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=64k²-24（1+2k²）＞0，即為2k²＞3，
x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
△AOB的面積為S=S_△OBP-S_△OAP=

1

2

•|OP|•|x₁-x₂|
=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64k2 (1+2k2)2 - 24 1+2k2

=2

2

•

2k2-3

1+2k2

，
令S=

2

3

，解得，k²=

5

2

或

11

2

，
即為k=±

10

2

或±

22

2

，
則直線l：y═±

10

2

x+2或y═±

22

2

x+2；
（2）由（1）可得，
S=2

2

•

2k2-3

1+2k2

，
令

2k2-3

=t（t＞0），
則2k²=3+t²，
則S=2

2

•

t

4+t2

=2

2

•

1

t+ 4 t

≤2

2

•

1

2 t• 4 t

=

2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)t=2即k=±

14

2

時(shí)，△AOB的面積最大，
此時(shí)直線l的方程為y=±

14

2

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．