Question

9．已知圓C過點(diǎn)P（0，5），Q（4，3），且圓心C在直線x-y+3=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)P（4，0）做直線l與圓O：x²+y²=25交于點(diǎn)A，B，與圓C交于點(diǎn)M，N，若AB=MN，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C（a，a+3），根據(jù)圓C過點(diǎn)P（0，5），Q（4，3），可得CP²=CQ²，求得a的值，可得圓C的圓心和半徑CP，從而求得圓C的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，求得 圓心O到直線l的距離為d，可得弦長AB，同理求得MN，再根據(jù)AB=MN，求得k的值，從而求得直線l的方程．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓心C（a，a+3），根據(jù)圓C過點(diǎn)P（0，5），Q（4，3），
可得CP=CQ，即CP²=CQ²，即a²+（a+3-5）²=（a-4）²+（a+3-3）²，
求得a=3，可得圓C的半徑為CP=$\sqrt{{3}^{2}{+（6-5）}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故圓C的方程為 （x-3）²+（y-6）²=10．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y-0=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圓心O到直線l的距離為d=$\frac{|0-0-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，圓O的半徑為5，故弦長AB=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{1{6k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
圓心C（3，6）到直線l的距離為d=$\frac{|3k-6-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，圓O的半徑為$\sqrt{10}$，故弦長MN=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{{（k+6）}^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再根據(jù)AB=MN，可得2$\sqrt{25-\frac{{16k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{10-\frac{{（k+6）}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，求得k=-$\frac{17}{4}$，故直線l的方程為-$\frac{17}{4}$x-y-17=0，即 17x+4y+68=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=4，
圓心O到直線l的距離為d=4，圓O的半徑為5，故弦長AB=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=6．
圓心C（3，6）到直線l的距離為d=1，圓O的半徑為$\sqrt{10}$，故弦長MN=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=6，
滿足AB=MN．
綜上可得，直線l的方程為17x+4y+68=0或x=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相交的性質(zhì)，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．