Question

10．已知函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），當x＞1時，f（x）＞0；
（1）求f（8）的值；
（2）討論函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（x）+f（x-2）≤3．

Answer 1

分析 （1）題意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x-2）]＜f（8），
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）由f（x）的定義域為（0，+∞），且在其上為增函數(shù)，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可解得答案．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3，
（2）當x=y=1時，f（1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
設(shè)x₁＜x₂，則
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂），
則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
（3）由f（x）+f（x-2）≤3，
∴f（x（x-2））≤f（8）
∵函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≤8}\end{array}\right.$
解得，2＜x≤4．
所以不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集為{x|2＜x≤4}．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的求值，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的應用是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的運算能力．