Question

19．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）討論關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用定義法進(jìn)行判斷得a（e^x+e^-x+a）=0恒成立，求出a的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可知g'（x）≤0恒成立，λ≤-1；要使g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ≤-1時(shí)恒成立即可．可構(gòu)造函數(shù)，看成關(guān)于λ的一次函數(shù)進(jìn)行求解，進(jìn)而得出λ的范圍；
（3）利用構(gòu)造函數(shù)法，令${f_1}（x）=\frac{lnx}{x}，{f_2}（x）={x^2}-2ex+m$，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過極值，單調(diào)性，模擬函數(shù)圖象，利用數(shù)學(xué)結(jié)合得出m的不同分類．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）恒成立，
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1，
∴1+ae^-x+ae^x+a²=1．即a（e^x+e^-x+a）=0恒成立，
故a=0…（3分）
（2）由（l）知g（x）=λf（x）+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]，
∴要使g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，則有g(shù)'（x）≤0恒成立，
∴λ≤-1．又∵g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
∴要使g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ≤-1時(shí)恒成立即可．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1），則$\left\{\begin{array}{l}t+1≤0\\ h（-1）≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}t+1≤0\\{t^2}-t+sin1≥0\end{array}\right.$而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1…（7分）
（3）由（1）知方程$\frac{lnx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$，即$\frac{lnx}{x}={x^2}-2ex+m$，
令${f_1}（x）=\frac{lnx}{x}，{f_2}（x）={x^2}-2ex+m$
∵$f{'_1}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f'₁（x）≥0，∴f₁（x）在（0，e]上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f'₁（x）≤0，∴f₁（x）在[e，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)x=e時(shí)，${f_1}{（x）_{max}}=\frac{1}{e}$．
而${f_2}（x）={x^2}-2ex+m={（x-e）^2}+m-{e^2}$
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f₂（x）是減函數(shù)，當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f₂（x）是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=e時(shí)，${f_2}{（x）_{min}}=m-{e^2}$．
故當(dāng)$m-{e^2}＞\frac{1}{e}$，即$m＞{e^2}+\frac{1}{e}$時(shí)，方程無實(shí)根；
當(dāng)$m-{e^2}=\frac{1}{e}$，即$m={e^2}+\frac{1}{e}$時(shí)，方程有一個(gè)根；
當(dāng)$m-{e^2}＜\frac{1}{e}$，即$m＜{e^2}+\frac{1}{e}$時(shí)，方程有兩個(gè)根．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，屬于難度較大的題型．