Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量，x∈R．

a

=（sin2x，

3

），

b

=（-1，sin（2x-

π

6

））
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移，則至少平移多少個單位長度，才能使得到的函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱？

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積的坐標運算可求得f（x）=sin（2x-

π

3

），從而可求得f（x）的最小值及f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）依題意知，g（x）=sin（2x-2φ-

π

3

），利用2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，可求得φ=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），又φ＞0，從而可得φ_min．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=-sin2x+

3

sin（2x-

π

6

）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）．…..（4分）
∴函數(shù)f（x）的最小值為-1，此時2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，解得x=kπ-

π

12

（k∈Z），
∴使f（x）取得最小值的x的集合為{x|x=kπ-

π

12

（k∈Z）}．…..（7分）
（Ⅱ）由條件可得g（x）=sin（2x-2φ-

π

3

），∵其圖象關(guān)于y軸對稱，
∴2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），又φ＞0，
∴當k=0時，φ取得最小值

π

12

，
于是至少向右平移

π

12

個單位長度，才能使得到的函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．…..（12分）

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的對稱性，考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算，屬于中檔題．