Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y=x²-4x+3與兩坐標(biāo)軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）判斷直線ax-y-3a+1=0與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出曲線y=x²-4x+3與y軸的交點為（0，3），與x軸的交點為（1，0），（3，0），確定圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）求出直線所過定點的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷定點與圓的關(guān)系，可得結(jié)論．

解答 解：（1）曲線y=x²-4x+3與y軸的交點為（0，3），與x軸的交點為（1，0），（3，0），
故可設(shè)C的圓心為（2，t），則有（2-0）²+（t-3）²=（2-1）²+（t-0）²，解得t=2，
則圓C的半徑為$\sqrt{（2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以圓C的方程為（x-2）²+（y-2）²=5；
（2）直線ax-y-3a+1=0可化為：a（x-3）-y+1=0，
當(dāng)x=3，y=1時，a（x-3）-y+1=0恒成立，
故直線ax-y-3a+1=0恒過（3，1）點，
又由x=3，y=1時，（x-2）²+（y-2）²=2＜5，
故（3，1）點在圓C的內(nèi)部，
故直線與圓一定相交．

點評 本題考查的知識點是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．