Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=4$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，y=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，且x⊥y．求k=f（t）的解析式．

Answer 1

分析 首先求得${\stackrel{?}{a}}^{2}，{\stackrel{?}}^{2}，\stackrel{?}{a}?\stackrel{?}$的值，然后利用向量垂直的充要條件可知兩向量的數(shù)量積等于0，據(jù)此整理計算即可求得最終結(jié)果．

解答 解：由題意可得：${\stackrel{?}{a}}^{2}=3+1=4，{\stackrel{?}}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1，\stackrel{?}{a}?\stackrel{?}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，
利用平面向量的運算法則有：
$\stackrel{?}{x}?\stackrel{?}{y}=[4\stackrel{?}{a}+（{t}^{2}-3）\stackrel{?}]?（-k\stackrel{?}{a}+t\stackrel{?}）$=$-4k{\stackrel{?}{a}}^{2}+（4t-k{t}^{2}+3k）\stackrel{?}{a}?\stackrel{?}+（{t}^{3}-3t）{\stackrel{?}}^{2}$，
結(jié)合$\stackrel{?}{x}⊥\stackrel{?}{y}$有：$\stackrel{?}{x}?\stackrel{?}{y}=-4k×4+{t}^{3}-3t=0$，
整理可得：$k=f（t）=\frac{{t}^{3}-3t}{16}$．

點評 本題考查平面向量問題，涉及的知識點包括平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的充要條件等．