Question

已知公比為3的等比數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}滿足{b_n}=3an，n∈N^*，且a₁=1．
（1）判斷{a_n}是何種數(shù)列，并給出證明；
（2）若c_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列{b_n}的公比為3可得

bn+1

bn

=3，從而可求出a_n+1-a_n=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定；
（2）先求出數(shù)列{a_n}的通項，然后根據(jù)c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，可利用裂項求和法進行求和即可．

解答：解：（1）∵等比數(shù)列{b_n}的公比為3
∴

bn+1

bn

=

3an+1

3an

=3an+1-an=3
∴a_n+1-a_n=1
∴{a_n}是等差數(shù)列
（2）∵a₁=1，a_n+1-a_n=1
∴a_n=n
則c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

∴數(shù)列{c_n}的前n項和為1-

1

n+1

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及裂項求和法求數(shù)列的和，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．