Question

11．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（2c+b，a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ） 求角A的大��；    
（Ⅱ） 若a=4$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，化簡得到2sinCcosA+sinC=0，由sinC≠0可得cosA，結合A的范圍利用特殊角的三角函數值即可得解A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式可求bc≤16，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（2c+b，a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴cosA（2c+b）+acosB=0，
∴由正弦定理可得：2sinCcosA+sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA+sin（A+B）=2sinCcosA+sinC=0，
∵C∈（0，π），sinC≠0，可得：cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{2π}{3}$，a=4$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：48=b²+c²+bc≥3bc，即：bc≤16，（當且僅當b=c=4時等號成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，（當且僅當b=c=4時等號成立），
∴△ABC面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式的應用，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．