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11.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知向量$\overrightarrow{m}$=(cosA,cosB),$\overrightarrow{n}$=(2c+b,a),且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$.
(Ⅰ) 求角A的大;    
(Ⅱ) 若a=4$\sqrt{3}$,求△ABC面積的最大值.

分析 (Ⅰ)根據$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0,化簡得到2sinCcosA+sinC=0,由sinC≠0可得cosA,結合A的范圍利用特殊角的三角函數值即可得解A的值.
(Ⅱ)利用余弦定理,基本不等式可求bc≤16,利用三角形面積公式即可計算得解.

解答 解:(Ⅰ)∵向量$\overrightarrow{m}$=(cosA,cosB),$\overrightarrow{n}$=(2c+b,a),且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$,
∴cosA(2c+b)+acosB=0,
∴由正弦定理可得:2sinCcosA+sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA+sin(A+B)=2sinCcosA+sinC=0,
∵C∈(0,π),sinC≠0,可得:cosA=-$\frac{1}{2}$,
∴由A∈(0,π),可得:A=$\frac{2π}{3}$.
(Ⅱ)∵A=$\frac{2π}{3}$,a=4$\sqrt{3}$,
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:48=b2+c2+bc≥3bc,即:bc≤16,(當且僅當b=c=4時等號成立)
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$,(當且僅當b=c=4時等號成立),
∴△ABC面積的最大值為4$\sqrt{3}$.

點評 本題主要考查了余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的應用,考查了兩個向量垂直的性質,兩個向量的數量積公式的應用,根據三角函數的值求角,屬于中檔題.

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