【題目】已知函數(shù).
(1)當時,試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,求證:函數(shù)在上的最小值小于.
【答案】(1) 函數(shù)在上單調(diào)遞増(2)見解析
【解析】試題分析:(1)第(1)問,直接求導(dǎo),再利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性. (2)第(2)問,對a分類討論,再利用導(dǎo)數(shù)求出求每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性,從而證明函數(shù)在上的最小值小于.
試題解析:
(1)由題可得,
設(shè),則,
所以當時, 在上單調(diào)遞增,
當時, 在上單調(diào)遞減,
所以,因為,所以,即,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞増.
(2)由(1)知在上單調(diào)遞増,
因為,所以,
所以存在,使得,即,即,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞増,所以當時
,
令,則恒成立,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,
所以,即當時,
故函數(shù)在上的最小值小于.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求的最小值.
(Ⅱ)若在區(qū)間上有兩個極值點,
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)求證:.
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【題目】某車間有5名工人其中初級工2人,中級工2人,高級工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機抽取2名.
Ⅰ求被抽取的2名工人都是初級工的概率;
Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率.
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【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測,測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個,三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個) | 28 | ||
良(個) | 32 | 30 |
已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個,恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù);
(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
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【題目】已知橢圓的離心率,且橢圓與圓的4個交點恰為一個正方形的4個頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知點為橢圓的下頂點, 為橢圓上與不重合的兩點,若直線與直線的斜率之和為,試判斷是否存在定點,使得直線恒過點,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】為了解市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況,該市教研機構(gòu)組織了一次檢測考試,并隨機抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績;(精確到個位)
(2)研究發(fā)現(xiàn),本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布(, 約為19.3).
按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),理科數(shù)學(xué)成績能達到升一本分數(shù)要求的同學(xué)約占,據(jù)此估計本次檢測成績達到升一本的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分?(精確到個位)
已知市理科考生約有1000名,某理科學(xué)生此次檢測數(shù)學(xué)成績?yōu)?07分,則該學(xué)生全市排名大約是多少名?
(說明: 表示的概率, 用來將非標準正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布,即,從而利用標準正態(tài)分布表,求時的概率,這里.相應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率,即.參考數(shù)據(jù): , , ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)判斷函數(shù)極值點的個數(shù),并說明理由;
(2)若, ,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點, 為橢圓:上異于點A,B的任意一點.
(Ⅰ)求證:直線、的斜率之積為-;
(Ⅱ)是否存在過點的直線與橢圓交于不同的兩點、,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為4,M為底面ABCD兩條對角線的交點,P為平面內(nèi)的動點,設(shè)直線PM與平面所成的角為,直線PD與平面所成的角為若,則動點P的軌跡長度為______.
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